向量点乘公式(两向量正交点乘等于多少)

向量间的运算可谓千变万化，但其中最为人们所熟知的莫过于点乘与叉乘两种。

点乘，这个在向量世界里被称为“亲密的拥抱”的运算，其结果是一个标量。当两个向量a与b进行点乘运算时，它们的关系就像是在讲述一个温馨的故事。这个故事的情节是这样的：向量a与b手牵手，在空间中形成一个特定的角度。它们的点乘结果就是这个角度的余弦值乘以它们长度的乘积。公式表示为：a·b=|a||b|cosθ。

而叉乘，这个如同“舞者在舞台上的旋转”的运算，则产生一个垂直于原向量构成平面的新向量。当向量a与b在空间中翩翩起舞时，它们的叉乘就是那场舞蹈中舞者的旋转动作，生成一个全新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量构成的平面。其计算结果反映了原两向量长度和其夹角正弦值的乘积。公式表示为：a×b=|a||b|sinθ。

关于点乘的深入，我们可以知道它是一种在实数域R上的二元运算。这种运算接受两个向量作为输入，然后返回一个实数值标量。它是欧几里得空间中的标准内积。想象一下，你有两个向量a和b，它们各自包含一系列数值。当你进行点乘运算时，这些数值会进行一对一的配对相乘并求和。公式表示为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。如果我们采用矩阵乘法的视角，并将向量视为n×1矩阵，点积还可以表达为a·b=（a^T）b。这里的a^T表示矩阵a的转置，它告诉我们，向量的点积运算其实隐藏着矩阵运算的奥秘。